Heute entdeckte ich Emmanuelles ganz wunderbaren Thread zum Thema Lieblings-unnützes Wissen. Dort schrieb Holger Dittmann:
Es gibt nur 2 Primzahlen deren Quadrat bei Division durch 12 nicht den Rest 1 hat.
Schnell war klar: Die beiden solchen Primzahlen sind 2 und 3, aber wie beweist man, dass es auch die einzigen sind?
Zum Glück ist der Beweis nicht schwer.
Hier ist er:
@Mina Der Beweis geht noch einfacher:
n²-1 = (n-1)(n+1) (3. Binomische Formel)
Da n ungerade ist, müssen sowohl n-1 als auch n+1 gerade sein. Also ist (n-1)(n+1) durch 4 teilbar.
n-1, n und n+1 sind drei aufeinanderfolgende Zahlen. Eine davon ist durch 3 teilbar. Da n nicht durch 3 teilbar ist, muss also entweder n-1 oder n+1 durch 3 teilbar sein. Dann ist auch (n-1)(n+1) durch 3 teilbar.
Also ist n²-1 = (n-1)(n+1) durch 12 teilbar.
Der Beweis passt in einen Tröt. 😀
Sehr hübsch und wirklich elegant! Ich mag den total – der ist viel besser als meiner.
Die Rechnung meines Beweises ist zwar länger, hätte aber auch in einen Tröt gepasst, nicht aber der Text drumrum, der für Menschen, die sich weniger mit Zahlen auskennen, gedacht ist.
Wie dem auch sei: Auf meinen bin ich selbst gekommen, deshalb bleibt er.
@Mina Ich kannte den Satz bislang noch gar nicht. Dein Beweis hat mich inspiriert, ihn kürzer zu formulieren.
Darum gilt das größere Kompliment dir.
Ich kannte ihn auch nicht.
Ist doch prima. So haben wir beide die grauen Zellen trainiert und Spaß gehabt.
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